Nguyên hàm từng phần dễ hiểu, áp dụng nhanh

Nguyên hàm từng phần là một trong những phương pháp quan trọng trong chương trình Toán THPT, đặc biệt ở lớp 12. Đây là kỹ thuật giúp giải các bài toán nguyên hàm phức tạp khi không thể áp dụng trực tiếp công thức cơ bản. 

Bài viết dưới đây sẽ giúp bạn hiểu rõ công thức, cách nhận diện dạng bài và áp dụng hiệu quả trong quá trình học.  

Nguyên hàm từng phần là gì? 

Nguyên hàm từng phần là phương pháp biến đổi tích của hai hàm số thành dạng dễ tính hơn, dựa trên quy tắc đạo hàm của tích. 

Thường áp dụng khi biểu thức có dạng tích như: 

• x⋅exx \cdot e^xx⋅ex  

• x⋅sin⁡xx \cdot \sin xx⋅sinx  

• x⋅ln⁡xx \cdot \ln xx⋅lnx  

• ex⋅cos⁡xe^x \cdot \cos xex⋅cosx  

Công thức nguyên hàm từng phần 

∫u dv=uv−∫v du\int u\,dv = uv – \int v\,du∫udv=uv−∫vdu  

Trong đó: 

• uuu: hàm lấy đạo hàm  

• dvdvdv: phần còn lại để lấy nguyên hàm  

• dududu: đạo hàm của uuu  

• vvv: nguyên hàm của dvdvdv  

Đây là công thức cần ghi nhớ. 

Khi nào nên dùng? 

Nên áp dụng khi gặp các dạng: 

• Tích giữa đa thức và hàm mũ  

• Tích giữa đa thức và lượng giác  

• Tích giữa đa thức và logarit  

• Hàm logarit đứng riêng  

• Dạng cần lặp lại nhiều lần  

Cách chọn u và dv 

Một nguyên tắc phổ biến: 

• Ưu tiên chọn uuu là hàm đơn giản khi đạo hàm  

Thứ tự ưu tiên: 

Logarit → đa thức → lượng giác → hàm mũ 

Ví dụ: 

• x⋅exx \cdot e^xx⋅ex → chọn u=xu = xu=x  

• ln⁡x\ln xlnx → chọn u=ln⁡xu = \ln xu=lnx  

Ví dụ cơ bản 

Ví dụ 1 

∫xexdx\int x e^x dx∫xexdx  

Chọn: 

• u=x⇒du=dxu = x \Rightarrow du = dxu=x⇒du=dx  

• dv=exdx⇒v=exdv = e^x dx \Rightarrow v = e^xdv=exdx⇒v=ex  

Áp dụng: 

∫xexdx=xex−∫exdx=xex−ex+C\int x e^x dx = x e^x – \int e^x dx = x e^x – e^x + C∫xexdx=xex−∫exdx=xex−ex+C 

Ví dụ 2 

∫xsin⁡xdx\int x \sin x dx∫xsinxdx  

Chọn: 

• u=xu = xu=x  

• dv=sin⁡xdxdv = \sin x dxdv=sinxdx  

Kết quả: 

∫xsin⁡xdx=−xcos⁡x+sin⁡x+C\int x \sin x dx = -x \cos x + \sin x + C∫xsinxdx=−xcosx+sinx+C 

Ví dụ 3 

∫ln⁡xdx\int \ln x dx∫lnxdx  

Chọn: 

• u=ln⁡xu = \ln xu=lnx  

• dv=dxdv = dxdv=dx  

Kết quả: 

∫ln⁡xdx=xln⁡x−x+C\int \ln x dx = x \ln x – x + C∫lnxdx=xlnx−x+C 

Ví dụ nâng cao 

∫excos⁡xdx\int e^x \cos x dx∫excosxdx  

Dạng này cần áp dụng hai lần, kết quả: 

∫excos⁡xdx=ex(sin⁡x+cos⁡x)2+C\int e^x \cos x dx = \frac{e^x(\sin x + \cos x)}{2} + C∫excosxdx=2ex(sinx+cosx) +C 

Những lỗi thường gặp 

• Chọn uuu không hợp lý  

• Sai dấu khi tính toán  

• Quên hằng số CCC  

• Biến đổi sai biểu thức  

Mẹo học hiệu quả 

• Ghi nhớ công thức gốc  

• Nhận diện nhanh dạng bài  

• Luyện tập từ cơ bản đến nâng cao  

• Kiểm tra lại bằng cách lấy đạo hàm  

Bài tập tự luyện 

∫xcos⁡xdx\int x \cos x dx∫xcosxdx ∫xe2xdx\int x e^{2x} dx∫xe2xdx ∫x2ln⁡xdx\int x^2 \ln x dx∫x2lnxdx ∫exsin⁡xdx\int e^x \sin x dx∫exsinxdx 

Tổng kết 

Nguyên hàm từng phần là công cụ quan trọng giúp giải nhiều bài toán nguyên hàm khó. Khi nắm chắc công thức, biết cách chọn uuu và luyện tập thường xuyên, bạn sẽ xử lý tốt dạng bài này trong các kỳ thi. 

Tuhoc123.vn hy vọng bài viết giúp bạn học tốt hơn và làm chủ phần nguyên hàm từng phần. 

Xem thêm: Tổng hợp công thức đạo hàm lớp 12 đầy đủ, dễ nhớ