Công thức đạo hàm lớp 12 là phần kiến thức trọng tâm trong chương trình Toán THPT, xuất hiện thường xuyên trong các bài kiểm tra và kỳ thi tốt nghiệp. Việc nắm vững công thức không chỉ giúp giải nhanh bài tập mà còn hỗ trợ tốt cho các chuyên đề như khảo sát hàm số, cực trị, tiếp tuyến và tối ưu hóa.
Bài viết dưới đây sẽ hệ thống lại các công thức đạo hàm quan trọng một cách rõ ràng và dễ học.
Nội dung:
Đạo hàm là gì?
Đạo hàm thể hiện tốc độ biến thiên của hàm số tại một điểm.
- Nếu y′>0y’ > 0y′>0: hàm đồng biến
- Nếu y′<0y’ < 0y′<0: hàm nghịch biến
Đạo hàm là công cụ quan trọng để giải các bài toán về cực trị và khảo sát hàm số.
Công thức đạo hàm cơ bản
Đạo hàm của hằng số và biến
(C)′=0(C)’ = 0(C)′=0 (x)′=1(x)’ = 1(x)′=1 (ax)′=a(ax)’ = a(ax)′=a
Đạo hàm lũy thừa
(xn)′=nxn−1(x^n)’ = n x^{n-1}(xn)′=nxn−1
Ví dụ:
(x2)′=2x,(x3)′=3×2(x^2)’ = 2x, \quad (x^3)’ = 3x^2(x2)′=2x,(x3)′=3×2
Đạo hàm căn thức
(x)′=12x(\sqrt{x})’ = \frac{1}{2\sqrt{x}}(x )′=2x 1 (1x)′=−1×2\left(\frac{1}{x}\right)’ = -\frac{1}{x^2}(x1 )′=−x21
Đạo hàm của tổng, tích, thương
Tổng và hiệu
(u±v)′=u′±v′(u \pm v)’ = u’ \pm v’(u±v)′=u′±v′
Tích
(uv)′=u′v+uv′(uv)’ = u’v + uv’(uv)′=u′v+uv′
Thương
(uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v}\right)’ = \frac{u’v – uv’}{v^2}(vu )′=v2u′v−uv′
Điều kiện: v≠0v \ne 0v=0
Đạo hàm hàm hợp
Công thức tổng quát:
(f(u))′=f′(u)⋅u′(f(u))’ = f'(u)\cdot u’(f(u))′=f′(u)⋅u′
Ví dụ:
(sin(x2))′=2xcos(x2)(\sin(x^2))’ = 2x \cos(x^2)(sin(x2))′=2xcos(x2) (ln(x2+1))′=2xx2+1(\ln(x^2 + 1))’ = \frac{2x}{x^2 + 1}(ln(x2+1))′=x2+12x
Đạo hàm lượng giác
(sinx)′=cosx(\sin x)’ = \cos x(sinx)′=cosx (cosx)′=−sinx(\cos x)’ = -\sin x(cosx)′=−sinx (tanx)′=1cos2x(\tan x)’ = \frac{1}{\cos^2 x}(tanx)′=cos2x1 (cotx)′=−1sin2x(\cot x)’ = -\frac{1}{\sin^2 x}(cotx)′=−sin2x1
Hàm lượng giác có chứa biểu thức
(sinu)′=u′cosu(\sin u)’ = u’ \cos u(sinu)′=u′cosu (cosu)′=−u′sinu(\cos u)’ = -u’ \sin u(cosu)′=−u′sinu
Đạo hàm hàm mũ và logarit
Hàm mũ
(ex)′=ex(e^x)’ = e^x(ex)′=ex (ax)′=axlna(a>0,a≠1)(a^x)’ = a^x \ln a \quad (a > 0, a \ne 1)(ax)′=axlna(a>0,a=1)
Logarit
(lnx)′=1x(\ln x)’ = \frac{1}{x}(lnx)′=x1 (logax)′=1xlna(\log_a x)’ = \frac{1}{x \ln a}(loga x)′=xlna1
Hàm hợp dạng mũ – logarit
(eu)′=u′eu(e^u)’ = u’ e^u(eu)′=u′eu (lnu)′=u′u(\ln u)’ = \frac{u’}{u}(lnu)′=uu′
Ứng dụng của đạo hàm
Tìm cực trị
- Giải y′=0y’ = 0y′=0
- Xét dấu để kết luận cực đại, cực tiểu
Viết tiếp tuyến
y=y′(x0)(x−x0)+y(x0)y = y'(x_0)(x – x_0) + y(x_0)y=y′(x0 )(x−x0 )+y(x0 )
Xét tính đơn điệu
- y′>0y’ > 0y′>0: đồng biến
- y′<0y’ < 0y′<0: nghịch biến
Mẹo học nhanh công thức đạo hàm
- Học theo từng nhóm công thức
- Làm bài tập mỗi ngày
- Ghi sơ đồ tư duy
- Nhận diện nhanh dạng toán
Những lỗi thường gặp
- Quên nhân đạo hàm của hàm bên trong
- Nhầm dấu âm của cosx\cos xcosx
- Sai công thức thương
- Không xét điều kiện xác định
Tổng kết
Công thức đạo hàm lớp 12 là nền tảng quan trọng để học tốt giải tích. Khi nắm chắc công thức và luyện tập thường xuyên, bạn sẽ dễ dàng giải các bài toán liên quan và đạt kết quả cao trong các kỳ thi.
Tuhoc123.vn hy vọng bài viết giúp bạn hệ thống kiến thức rõ ràng và học Toán hiệu quả hơn.
Xem thêm: Nguyên hàm tích phân từ cơ bản đến nâng cao dễ hiểu
