Đạo hàm là một trong những nội dung quan trọng nhất của chương trình Toán lớp 12. Đây là công cụ giúp học sinh giải quyết nhiều dạng bài như khảo sát hàm số, tìm cực trị, viết phương trình tiếp tuyến và các bài toán ứng dụng.
Bài viết dưới đây sẽ hệ thống lại toàn bộ công thức đạo hàm lớp 12 theo cách dễ nhớ, dễ áp dụng.
Nội dung:
Đạo hàm là gì?
Đạo hàm thể hiện tốc độ biến thiên của hàm số tại một điểm.
- y′>0y’ > 0y′>0: hàm đồng biến
- y′<0y’ < 0y′<0: hàm nghịch biến
Đây là nền tảng để giải các bài toán về cực trị và biến thiên.
Công thức đạo hàm cơ bản
Hằng số và biến số
(C)′=0(C)’ = 0(C)′=0 (x)′=1(x)’ = 1(x)′=1 (ax)′=a(ax)’ = a(ax)′=a
Lũy thừa
(xn)′=nxn−1(x^n)’ = n x^{n-1}(xn)′=nxn−1
Ví dụ:
(x2)′=2x,(x3)′=3×2(x^2)’ = 2x, \quad (x^3)’ = 3x^2(x2)′=2x,(x3)′=3×2
Căn thức và phân thức
(x)′=12x(\sqrt{x})’ = \frac{1}{2\sqrt{x}}(x )′=2x 1 (1x)′=−1×2\left(\frac{1}{x}\right)’ = -\frac{1}{x^2}(x1 )′=−x21
Đạo hàm của tổng, tích, thương
Tổng và hiệu
(u±v)′=u′±v′(u \pm v)’ = u’ \pm v’(u±v)′=u′±v′
Tích
(uv)′=u′v+uv′(uv)’ = u’v + uv’(uv)′=u′v+uv′
Thương
(uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v}\right)’ = \frac{u’v – uv’}{v^2}(vu )′=v2u′v−uv′
Điều kiện: v≠0v \ne 0v=0
Đạo hàm hàm hợp
(f(u))′=f′(u)⋅u′(f(u))’ = f'(u)\cdot u’(f(u))′=f′(u)⋅u′
Ví dụ:
(sin(x2))′=2xcos(x2)(\sin(x^2))’ = 2x \cos(x^2)(sin(x2))′=2xcos(x2) (ln(x2+1))′=2xx2+1(\ln(x^2 + 1))’ = \frac{2x}{x^2 + 1}(ln(x2+1))′=x2+12x
Đạo hàm lượng giác
(sinx)′=cosx(\sin x)’ = \cos x(sinx)′=cosx (cosx)′=−sinx(\cos x)’ = -\sin x(cosx)′=−sinx (tanx)′=1cos2x(\tan x)’ = \frac{1}{\cos^2 x}(tanx)′=cos2x1 (cotx)′=−1sin2x(\cot x)’ = -\frac{1}{\sin^2 x}(cotx)′=−sin2x1
Hàm lượng giác có chứa biểu thức
(sinu)′=u′cosu(\sin u)’ = u’ \cos u(sinu)′=u′cosu (cosu)′=−u′sinu(\cos u)’ = -u’ \sin u(cosu)′=−u′sinu
Đạo hàm hàm mũ và logarit
Hàm mũ
(ex)′=ex(e^x)’ = e^x(ex)′=ex (ax)′=axlna(a^x)’ = a^x \ln a(ax)′=axlna
Logarit
(lnx)′=1x(\ln x)’ = \frac{1}{x}(lnx)′=x1 (logax)′=1xlna(\log_a x)’ = \frac{1}{x \ln a}(loga x)′=xlna1
Hàm hợp
(eu)′=u′eu(e^u)’ = u’ e^u(eu)′=u′eu (lnu)′=u′u(\ln u)’ = \frac{u’}{u}(lnu)′=uu′
Ứng dụng của đạo hàm
Tìm cực trị
- Giải y′=0y’ = 0y′=0
- Xét dấu để kết luận
Viết tiếp tuyến
y=y′(x0)(x−x0)+y(x0)y = y'(x_0)(x – x_0) + y(x_0)y=y′(x0 )(x−x0 )+y(x0 )
Xét tính đơn điệu
- y′>0y’ > 0y′>0: đồng biến
- y′<0y’ < 0y′<0: nghịch biến
Mẹo học nhanh công thức đạo hàm
- Chia nhóm công thức để học
- Làm bài tập mỗi ngày
- Ghi sơ đồ tư duy
- Nhận diện nhanh dạng bài
Những lỗi thường gặp
- Quên đạo hàm của hàm bên trong
- Nhầm dấu của cosx\cos xcosx
- Sai công thức thương
- Không xét điều kiện xác định
Tổng kết
Công thức đạo hàm lớp 12 là nền tảng quan trọng giúp học tốt giải tích. Khi nắm chắc công thức và luyện tập thường xuyên, bạn sẽ dễ dàng xử lý các bài toán và đạt kết quả cao trong các kỳ thi.
Tuhoc123.vn hy vọng bài viết giúp bạn hệ thống kiến thức rõ ràng và học Toán hiệu quả hơn.
